SYMBIOSE - Re-connexion à Soi

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LA GEOMETRIE FRACTALE

 

 

 

 

 

« La géométrie fractale est une autre partie de l’étude des nombres et de la façon dont l’énergie bouge, circule et fonctionne.

La géométrie fractale, la géométrie sacrée, la numérologie, les nombres eux même et ce qui comprend les mathématiques universelles, sont des moyens incroyables de comprendre comment l’énergie s’écoule et comment elle répond à la conscience.

Les formes de la géométrie sacrée se retrouvent partout dans la nature et nous révèlent le principe de l’unité, à travers la géométrie. »

 

Source : http://www.artistesavallon.com

 

 

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fractale

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Définition

 

Une figure fractale ou fractale (ou encore en anglais fractal), est une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne.

Le terme « fractale » est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 1974 ¹  à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier (fractale n.f).

Dans la « théorie de la rugosité » développée par Mandelbrot, une fractale désigne des objets dont la structure est invariante par changement d’échelle.

 

Ce terme était au départ un adjectif : les objets fractals (selon un pluriel formé sur l'exemple de "chantiers navals").

Les fractales sont définies de manière paradoxale, en référence aux structures gigognes dont ils constituent des cas particuliers : « Les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures gigognes en tout point – et pas seulement en un certain nombre de points, les attracteurs de la structure gigogne classique. Cette conception hologigogne (gigogne en tout point) des fractales implique cette définition tautologique : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal ».

 

Malgré les apparences, ce type de définitions de nature récursive n'est pas seulement théorique mais peut concerner aussi des concepts usuels : un ancêtre est un parent ou un ancêtre d'un parent, un multiple est un composé d'un nombre ou d'un multiple de ce nombre, un escalier commence ou prolonge un escalier, une dynastie inaugure ou prolonge une dynastie, etc.

 

 

 ¹ Benoît Mandelbrot tout particulièrement (inventeur du mot fractal et "père" de l'ensemble dit de Mandelbrot ), aidés par les progrès étonnants des technologies informatiques, les réveillent. C'était, dans les années soixante/soixante-dix, la [re-]naissance des fractales.
 
 
 
 

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Objets fractals dans la nature

Le  chou romanesco, un exemple de fractale naturelle
 
Une fougère fractale modélisée en utilisant un  système de fonctions itérées.

 

Des formes fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. Ces objets ont une structure autosimilaire sur une échelle étendue, mais finie : les nuages, les flocons de neige, les montagnes, les réseaux de rivières, le chou-fleur ou le brocoli, et les vaisseaux sanguins.

 

Les arbres et les fougères sont de nature fractale et peuvent être modélisés par ordinateur à l'aide d'algorithme récursif comme les L-Systems.

La nature récursive est évidente dans ces exemples ; la branche d'un arbre ou la fronde d'une fougère sont des répliques miniatures de l'ensemble : pas identiques, mais de nature similaire.

 

La surface d'une montagne peut être modélisée sur ordinateur en utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini.

La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération.

La nature récursive de l'algorithme garantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.

 

Enfin, certains  astrophysiciens ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l’Univers à six échelles différentes.

Les effondrements successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité, seraient à l'origine de cette structure (partiellement) fractale.

Ce point de vue a donné naissance au modèle de l' univers fractal, décrivant un univers fondé sur les fractales.

 

 

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Petit NB :

 

ÂGE DE L'UNIVERS

L'âge de l'univers représente la durée écoulée depuis le Big Bang, c'est-à-dire la phase dense et chaude de l'histoire de l'univers. Ce terme ne préjuge pas que l'univers soit d'un âge fini, son état antérieur au Big Bang (s'il existe) étant à l'heure actuelle hors de portée de l'observation directe.

L'âge de l'univers peut s'évaluer par plusieurs méthodes plus ou moins directes, qui convergent toutes vers une valeur de l'ordre de 15 milliards d'années. L'estimation aujourd'hui la plus précise est déduite des données du satellite artificiel Planck et donne 13,8191 milliards d'années.

 

 

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Dimension fractale

La dimension d'une ligne droite, d'un cercle et d'une courbe régulière est de 1. Une fois fixés une origine et un sens, chaque point de la courbe peut être déterminé par un nombre, qui définit la distance entre l'origine et le point. Le nombre est pris négativement s'il faut se déplacer dans le sens opposé à celui choisi au départ.

 

La dimension d'une figure simple dans le plan est de 2.

Une fois un repère défini, chaque point de la figure peut être déterminé par deux nombres.

La dimension d'un corps simple dans l'espace est de 3.

 

Une figure telle qu'une fractale n'est pas simple. Sa dimension n'est plus aussi facile à définir et n'est plus forcément entière. La dimension fractale, plus complexe, s'exprime à l'aide de la  dimension de Hausdorff.

 

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Géométrie Fractale et Synthèse de Phénomènes Naturels :

 

Examinons attentivement un exemple particulier : celui de la synthèse de phénomènes naturels -paysages et nuages-.

Remarquons que la première itération de la construction de la courbe de von Koch ressemble de façon très shématique (et évidemment trop parfaite) à la ligne de crête d'une montagne.

En introduisant un peu d'aléatoire, cette courbe pourra prendre une forme moins régulière et donc plus naturelle ; cette courbe sera alors qualifiée de fractale non déterministe. L'auteur de ce texte a généralisé cette procédure à des espaces à N dimensions ; cela permet, par exemple, pour N=3 de produire des paysages extrêmement variés

    et pour N=4, de les animer 

Il convient de noter que la simplicité conceptuelle de cet algorithme (et de ceux qui permettent de calculer les ensembles de Julia et de Mandelbrot, par exemple) est pratiquement en opposition avec l'infinie richesse visuelle des structures obtenues.

Ainsi, la géométrie fractale est l'occasion de [re-]découvrir que du simple peut naître le complexe...

 

 

Les Mathématiques, Reflet de notre Pensée et l'un des Langages de l'Univers :

 

Que sont nos Mathématiques ? 


Même si les Mathématiques ne sont peut-être que le reflet de nos structures cognitives les plus profondes (Dieu ne fait certainement pas des Mathématiques. VRAIMENT ?!!!!), elles se sont révélées, au cours des siècles, être un langage puissant et suffisamment objectif pour décrire l'Univers indépendamment de l'observateur, et nous permettre d'imaginer l'infini.

 

 

Ce serait faire preuve de peu d'humilité que de croire que Nos Mathématiques sont le seul langage permettant cette description. Cette adéquation notable vient certainement de l'ordre qui règne dans l'Univers (si tout n'était que chaos, il n'existerait aucune structure et donc aucun observateur...) ; les symétries, les régularités les invariants, les redondances,... impliquent une possible "compression de l'information" et donc l'existence de langages la décrivant. 

Mais ainsi, que le déclarait Heinrich Hertz au dix-neuvième siècle :

" On ne peut échapper au sentiment que ces formules mathématiques ont une existence qui leur est propre, qu'elles sont plus savantes que ceux qui les ont découvertes, et que nous pouvons en extraire plus de science qu'il n'en a été mis à l'origine " .

 

Ainsi, sans vouloir offenser le génie d'Albert Einstein, il semble évident que les trous noirs ou bien le Big Bang n'aient pas été introduits volontairement dans les équations de la Relativité Générale, et pourtant ils y sont présents, et bien d'autres choses encore...

 

 Voici un exemple plus proche de nous, celui des rétrogradations des planètes du système solaire vues depuis Pluton, obtenues tout simplement à partir des équations de Newton. 

 

 

 

Source : 

http://www.lactamme.polytechnique.fr/Mosaic/descripteurs/Fractal.01.html

 

 

 

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Autre Lien tout aussi intéressant : http://www.youtube.com/watch?v=g7EUoRYT1oY

 

 

 

 

 


10/11/2013

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